1円が毎日2倍になったら、30日目はいくら？
30日目の金額と、30日分の合計は別。指数増加の面白さと、現実に当てはめる限界を考えます。
この記事の道のり
自分の仮定で確かめる ↗1日目が1円なら、30日目は5億3,687万912円
1日目を1円とし、毎日2倍にするなら、n日目は1×2^(n−1)円です。30日目は2^29＝536,870,912円。30日分を毎日受け取る設定なら、合計は2^30−1＝1,073,741,823円になります。
「30日後に2倍を30回繰り返した残高」と定義すれば2^30円で、30日目の値とは1回分違います。最初の日を0日目と呼ぶか1日目と呼ぶかが、答えを2倍変えます。
足し算の感覚と、掛け算の仕組み
毎日1円ずつ増えるなら1、2、3、4円と進みます。毎日2倍なら1、2、4、8円。最初の数日は差が小さいのに、後半で増え方が大きくなります。1日増えるたび、前日までの大きさに依存して増えるためです。
10日目512円、20日目524,288円、30日目536,870,912円。10日進むごとに1,024倍になります。一定額が増えるモデルと、一定倍率が掛かるモデルを混ぜないことが大切です。
合計は、最後の日の約2倍になる
1＋2＋4＋…＋2^(n−1)＝2^n−1。合計をSとすると、2SからSを引いたとき途中の項が消え、最後の2^nと最初の1だけが残ります。最後の日の金額は全体の約半分を占めます。
表示のグラフは最大値を基準にしています。序盤の棒が小さく見えるのは、序盤に何も起きていないからではなく、後半との差が非常に大きいからです。
なぜ現実では、ずっと2倍にならない？
この計算は倍率が一定で、上限も損失もない数学モデルです。現実の売上・人口・細菌・投資残高には、需要や資源、空間、制度などの制約があります。何かが初期に指数的に増えても、永久に同じ倍率で増えるとは限りません。
特に、毎日2倍の利益が続く商品や投資を示すものではありません。このモデルの面白さは将来の儲けではなく、始点・回数・倍率が結果にどう効くかを確かめられる点にあります。
自分で検算するなら、小さい日数から
3日目なら1、2、4円で、最後は4円、合計7円です。式でも2^(3−1)＝4、2^3−1＝7になります。小さい数で一致することを確かめると、日数のずれに気づきやすくなります。
このフォームは整数円で正確に表示できる範囲に入力を制限しています。単に桁数を増やして見せるより、計算の条件と数え方を確認して使ってください。
本文は記載の仮定と数式から作成した計算例です。平均値・実測結果や効果の保証を示すものではありません。AIを制作補助に使用しています。計算条件はフォームの下に記載しています。